Calcul des variations : brachistochrone et géodésiques
Déplacez les points A et B. Molette — zoom. La fonctionnelle J[y] = ∫ L(x, y, y') dx se résout par l’équation d’Euler–Lagrange, méthode de tir.
Déplacez les points à la souris
pour changer les conditions aux limites.
Idée : on cherche une courbe \( y(x) \) minimisant \( J[y] = \int L(x, y, y')\, dx \) avec \( y(x_0) = y_0 \), \( y(x_1) = y_1 \). Condition nécessaire — Euler–Lagrange : \( L_y - \frac{d}{dx}(L_{y'}) = 0 \).
Repères
La fonctionnelle
\[ J[y] = \int_{x_0}^{x_1} L(x,y,y')\,dx \]Une condition nécessaire est l’équation d’Euler–Lagrange. La brachistochrone a pour solution une cycloïde ; les géodésiques planes sont des droites.
Le problème de la brachistochrone et Euler–Lagrange en ligne
Le calculateur cherche une extremale de \(J[y]=\int L\,dx\) entre deux points : la courbe de descente la plus rapide et d’autres préréglages.
Géodésiques, film de savon et oscillateur harmonique montrent comment un minimum d’intégrale devient une EDO pour \(y(x)\). Export PNG.
Possibilités de la page
Sur cette page : plein écran, points A et B déplaçables à la souris, export PNG.