Méthodes de calcul

Exemple commun

Toutes les tables de cette page utilisent le même problème de Cauchy :

\[ y' = y,\qquad y(0) = 1,\qquad h = 0.5. \]

Solution exacte : \( y(x) = e^{x} \). Après deux pas : \( y(0{,}5) \approx 1{,}648721 \), \( y(1) \approx 2{,}718282 \).

Ouvrez le même réglage sur le calculateur EDO-1.

Méthode d’Euler

Euler explicite est d’ordre 1. Depuis \( (x_n, y_n) \), on prend la pente \( k_1 = f(x_n, y_n) \) et on avance de \( h \) :

\[ y_{n+1} = y_n + h\,k_1,\qquad x_{n+1} = x_n + h. \]

/**
 * One explicit Euler step for y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  right-hand side
 * @param {number} x  current x
 * @param {number} y  current y
 * @param {number} h  step size
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number }}
 */
function eulerStep(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  return { x: x + h, y: y + h * k1, k1 }
}

Deux pas : \( y_1 = 1{,}5 \), \( y_2 = 2{,}25 \).

Méthode de Heun (RK2)

Heun (Euler amélioré, RK2 explicite) est d’ordre 2 : prédiction d’Euler, puis moyenne de deux pentes :

\[ k_1 = f(x_n,y_n),\qquad k_2 = f(x_n+h,\, y_n + h\,k_1),\qquad y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{2}(k_1 + k_2). \]

/**
 * One Heun (explicit RK2) step for y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  right-hand side
 * @param {number} x  current x
 * @param {number} y  current y
 * @param {number} h  step size
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number, k2: number }}
 */
function heunStep(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  const k2 = f(x + h, y + h * k1)
  return { x: x + h, y: y + (h * (k1 + k2)) / 2, k1, k2 }
}

On obtient \( y_1 = 1{,}625 \), \( y_2 = 2{,}640625 \).

Runge–Kutta d’ordre 4 (RK4)

RK4 explicite classique — ordre 4, quatre évaluations de pente :

\[ y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4). \]

/**
 * One classical 4th-order Runge–Kutta step for y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  right-hand side
 * @param {number} x  current x
 * @param {number} y  current y
 * @param {number} h  step size
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number, k2: number, k3: number, k4: number }}
 */
function rk4Step(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  const k2 = f(x + h / 2, y + (h * k1) / 2)
  const k3 = f(x + h / 2, y + (h * k2) / 2)
  const k4 = f(x + h, y + h * k3)
  return {
    x: x + h,
    y: y + (h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)) / 6,
    k1, k2, k3, k4,
  }
}

Après deux pas, \( y_2 \approx 2{,}717346 \) contre \( \approx 2{,}718282 \) exact.

Comparer en \( x = 1 \)

Sur la page du champ de directions, les trois schémas peuvent être activés ensemble avec table des pas / CSV.