Équations aux dérivées partielles : méthode des caractéristiques

Clic gauche — rotation. Molette — zoom. Clic droit — panoramique. L’équation a·u_x + b·u_y = c se résout par caractéristiques. Ce sont des courbes dans l’espace 3D (x, y, u).

Surface Caractéristiques Cond. initiale Rotation auto

Préréglages (exemples avec paramètres)

Principe : l’EDP \( a\, u_x + b\, u_y = c \) avec \( u(x_0(s), y_0(s)) = u_0(s) \) se résout en intégrant le système caractéristique : \( \frac{dx}{dt} = a,\; \frac{dy}{dt} = b,\; \frac{du}{dt} = c \). La surface solution est tendue sur ces courbes.

Équation a·u_x + b·u_y = c

a(x, y, u) =

b(x, y, u) =

c(x, y, u) =

Condition initiale (courbe paramétrique)

x₀(s) =

y₀(s) =

u₀(s) =

Intervalle s : … t :

Problème de Cauchy

Repères

Une EDP quasi linéaire du premier ordre :

\[ a\,u_x + b\,u_y = c \]

Les caractéristiques la réduisent à des EDO dans \((x,y,u)\). Une courbe initiale engendre une surface intégrale. Le transport conserve le profil ; Burgers inviscide peut former un choc.

Méthode des caractéristiques pour les EDP en ligne

ODEPLOT résout les EDP du premier ordre par les caractéristiques de Cauchy et construit une surface intégrale 3D à partir de \(u=\varphi(s)\).

Comparez le transport linéaire au déferlement de Burgers. Modifiez \(a,b,c\) et la donnée initiale ; téléchargez un PNG.

Possibilités de la page

Sur cette page : plein écran, rotation de la surface, animation des paramètres, export PNG.