Вариационное исчисление: брахистохрона и геодезические
Перетаскивайте точки A и B. Колесо — зум. Функционал J[y] = ∫ L(x, y, y') dx решается уравнением Эйлера–Лагранжа методом стрельбы.
Перетаскивайте точки мышью,
чтобы изменить граничные условия.
Суть метода: Ищем кривую \( y(x) \), минимизирующую функционал \( J[y] = \int L(x, y, y')\, dx \) при граничных условиях \( y(x_0) = y_0 \), \( y(x_1) = y_1 \). Необходимое условие — уравнение Эйлера–Лагранжа: \( L_y - \frac{d}{dx}(L_{y'}) = 0 \).
Краткая справка
Функционал
\[ J[y] = \int_{x_0}^{x_1} L(x,y,y')\,dx \]Необходимое условие экстремума — уравнение Эйлера–Лагранжа
\[ \dfrac{\partial L}{\partial y} - \dfrac{d}{dx}\dfrac{\partial L}{\partial y'} = 0 \]Если \(L\) не зависит явно от \(x\), есть интеграл Бельтрами. Брахистохрона: \(L=\sqrt{(1+y'^2)/y}\), решение — циклоида. Геодезические на плоскости — прямые.
Задача о брахистохроне и уравнение Эйлера–Лагранжа онлайн
Калькулятор строит экстремаль функционала \(J[y]=\int L\,dx\) между двумя точками: кривую наискорейшего спуска (брахистохрона) и другие пресеты.
Геодезические, мыльная плёнка и гармонический осциллятор показывают, как вариационное исчисление переводит минимум интеграла в ОДУ на \(y(x)\). График можно сохранить в PNG.
Возможности страницы
На этой странице можно раскрыть график на весь экран, перетаскивать граничные точки A и B мышью, менять масштаб колесом и сохранить результат в PNG.