Уравнения в частных производных: метод характеристик
ЛКМ — вращение. Колесо — зум. ПКМ — панорама. Уравнение a·u_x + b·u_y = c решается методом характеристик. Характеристики — кривые в 3D (x, y, u).
Как это работает: УрЧП a·u_x + b·u_y = c с начальным условием u(x₀(s), y₀(s)) = u₀(s) решается интегрированием системы характеристик: dx/dt = a, dy/dt = b, du/dt = c. Поверхность решения натягивается на эти кривые.
Краткая справка
Квазилинейное УрЧП первого порядка:
\[ a(x,y,u)\,u_x + b(x,y,u)\,u_y = c(x,y,u) \]Метод характеристик сводит задачу к ОДУ вдоль кривых в пространстве \((x,y,u)\):
\[ \begin{cases} dx/dt = a \\ dy/dt = b \\ du/dt = c \end{cases} \]Начальная кривая \(x(0)=\alpha(s),\ y(0)=\beta(s),\ u(0)=\varphi(s)\) порождает интегральную поверхность. У переноса характеристики параллельны; у Бюргерса они пересекаются и возникает ударная волна.
Метод характеристик для уравнений в частных производных онлайн
ODEPLOT решает УрЧП первого порядка методом характеристик Коши: уравнение сводится к системе ОДУ, а по начальной кривой \(u=\varphi(s)\) строится трёхмерная интегральная поверхность.
Доступны уравнение переноса и уравнение Бюргерса: сравните линейный перенос профиля и нелинейное опрокидывание фронта. Коэффициенты \(a,b,c\) и начальное распределение можно менять; график скачивается в PNG.