変分法: 最速降下線と測地線
点 A と B をドラッグ。 ホイール — ズーム。汎関数 J[y] = ∫ L(x, y, y') dx はオイラー–ラグランジュ方程式を射撃法で解きます。
マウスで点をドラッグして
境界条件を変えてください。
汎関数の例
考え方: \( y(x_0) = y_0 \)、\( y(x_1) = y_1 \) のもとで \( J[y] = \int L(x, y, y')\, dx \) を最小にする曲線 \( y(x) \) を求めます。必要条件はオイラー–ラグランジュ: \( L_y - \frac{d}{dx}(L_{y'}) = 0 \)。
ラグランジアン L(x, y, y')
境界条件
問題
簡単な解説
汎関数
\[ J[y] = \int_{x_0}^{x_1} L(x,y,y')\,dx \]必要条件はオイラー–ラグランジュ方程式です。最速降下線の解はサイクロイド、平面の測地線は直線です。
最速降下線問題とオイラー–ラグランジュをオンラインで
計算機は2点間で \(J[y]=\int L\,dx\) の極値曲線を求めます: 最速降下の曲線とその他のプリセット。
測地線、石鹸膜、調和振動子は、積分の最小が \(y(x)\) の常微分になる様子を示します。PNG 書き出し。
このページでできること
全画面、境界点 A・B のドラッグ、PNG 保存。