Метады вылічэнняў

Прыклад на ўсёй старонцы

Каб параўноўваць метады аднолькава, ніжэй усюды бярэм адну і тую ж задачу Кошы:

\[ y' = y,\qquad y(0) = 1,\qquad h = 0.5. \]

Дакладнае рашэнне — \( y(x) = e^{x} \). На двух кроках: \( y(0{,}5) \approx 1{,}648721 \), \( y(1) \approx 2{,}718282 \).

Той жа прыклад можна адкрыць на калькулятары АДУ-1.

Метад Эйлера

Яўны Эйлер — схема парадку 1. З кропкі \( (x_n, y_n) \) бярэм нахіл \( k_1 = f(x_n, y_n) \) і робім прамалінейны крок даўжынёй \( h \):

\[ y_{n+1} = y_n + h\,k_1,\qquad x_{n+1} = x_n + h. \]

/**
 * Один шаг явного метода Эйлера для y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  правая часть
 * @param {number} x  текущий x
 * @param {number} y  текущий y
 * @param {number} h  шаг
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number }}
 */
function eulerStep(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  return { x: x + h, y: y + h * k1, k1 }
}

Два крокі: \( y_1 = 1{,}5 \), \( y_2 = 2{,}25 \).

Метад Х’юна (RK2)

Х’юн (яўны RK2) — схема парадку 2. Спачатку прагноз Эйлера, потым сярэдняе двух нахілаў:

\[ k_1 = f(x_n,y_n),\qquad k_2 = f(x_n+h,\, y_n + h\,k_1),\qquad y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{2}(k_1 + k_2). \]

/**
 * Один шаг метода Хьюна (явный RK2, predictor–corrector) для y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  правая часть
 * @param {number} x  текущий x
 * @param {number} y  текущий y
 * @param {number} h  шаг
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number, k2: number }}
 */
function heunStep(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  const k2 = f(x + h, y + h * k1)
  return { x: x + h, y: y + (h * (k1 + k2)) / 2, k1, k2 }
}

Атрымліваем \( y_1 = 1{,}625 \), \( y_2 = 2{,}640625 \).

Рунге–Кута 4-га парадку (RK4)

Класічны яўны RK4 — схема парадку 4 з чатырма ацэнкамі нахілу:

\[ y_{n+1} = y_n + \tfrac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4). \]

/**
 * Один шаг классического Рунге–Кутты 4-го порядка для y′ = f(x, y).
 * @param {(x: number, y: number) => number} f  правая часть
 * @param {number} x  текущий x
 * @param {number} y  текущий y
 * @param {number} h  шаг
 * @returns {{ x: number, y: number, k1: number, k2: number, k3: number, k4: number }}
 */
function rk4Step(f, x, y, h) {
  const k1 = f(x, y)
  const k2 = f(x + h / 2, y + (h * k1) / 2)
  const k3 = f(x + h / 2, y + (h * k2) / 2)
  const k4 = f(x + h, y + h * k3)
  return {
    x: x + h,
    y: y + (h * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)) / 6,
    k1, k2, k3, k4,
  }
}

Пасля двух крокаў \( y_2 \approx 2{,}717346 \) пры дакладным \( \approx 2{,}718282 \).

Параўнанне на \( x = 1 \)

На старонцы поля напрамкаў тыя ж тры схемы можна ўключыць разам і глядзець табліцу крокаў / CSV.